Primitivele unei funcții (Integrala nedefinită)

Fie funcția $f : I \rightarrow \mathbb{R}$, unde $I$ este un interval. Se numește primitivă a funcției $f$ o funcție $F : I \rightarrow \mathbb{R}$, derivabilă pe $I$, cu proprietatea:

$$F'(x) = f(x), \quad \forall x \in I$$

Mulțimea tuturor primitivelor funcției $f$ se numește integrala nedefinită a funcției $f$ și se notează:

$$\int f(x) \, dx = F(x) + \mathcal{C}$$

Proprietăți ale primitivelor

1. Liniaritatea integralei: $\int [a \cdot f(x) + b \cdot g(x)] \, dx = a \int f(x) \, dx + b \int g(x) \, dx$
2. Formula integrării prin părți: $\int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx$

Integrala Definită (Formula Leibniz-Newton)

Dacă $f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ este continuă și $F$ este o primitivă a sa, atunci integrala definită a lui $f$ de la $a$ la $b$ este:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(x) \Big|_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$

---

Verificarea Cunoștințelor